2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D<0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8$$

$D<0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$4m^2 - 4m - 8 < 0$

両辺を4で割ると、

$m^2 - m - 2 < 0$

$(m-2)(m+1) < 0$

したがって、$-1 < m < 2$

3. 最終的な答え

$-1 < m < 2$