数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。 (1) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$のとき、一般項$a_n$を求める。 (2) (1)のとき、$\sum_{k=1}^n a_k^2 = \boxed{\text{ア}}n^3 + \boxed{\text{イ}}n^2 + \boxed{\text{ウ}}n + \boxed{\text{エ}}$である。空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

(1) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$のとき、一般項$a_n$を求める。

(2) (1)のとき、$\sum_{k=1}^n a_k^2 = \boxed{\text{ア}}n^3 + \boxed{\text{イ}}n^2 + \boxed{\text{ウ}}n + \boxed{\text{エ}}$である。空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n \ge 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$である。

$S_n = 3n^2 + 4n + 2$

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 4(n-1) + 2 = 3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4 + 2 = 3n^2 - 6n + 3 + 4n - 2 = 3n^2 - 2n + 1$

$a_n = (3n^2 + 4n + 2) - (3n^2 - 2n + 1) = 6n + 1$

$n=1$のとき、$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 4(1) + 2 = 3 + 4 + 2 = 9$

$6(1) + 1 = 7 \ne 9$なので、$a_1 = 9$

$n \ge 2$のとき、$a_n = 6n + 1$

(2) $a_n = 6n+1$なので、

$a_n^2 = (6n+1)^2 = 36n^2 + 12n + 1$

$\sum_{k=1}^n a_k^2 = \sum_{k=1}^n (36k^2 + 12k + 1) = 36 \sum_{k=1}^n k^2 + 12 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

$\sum_{k=1}^n a_k^2 = 36 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 12 \frac{n(n+1)}{2} + n = 6n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + n$

$= 6n(2n^2 + 3n + 1) + 6n^2 + 6n + n = 12n^3 + 18n^2 + 6n + 6n^2 + 7n = 12n^3 + 24n^2 + 13n$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 9$, $n \ge 2$のとき、$a_n = 6n + 1$

(2) $\sum_{k=1}^n a_k^2 = 12n^3 + 24n^2 + 13n$

ア：12, イ：24, ウ：13, エ：0