$a$ を定数とするとき、関数 $y = -x^2 + 4x$ の $a \leq x \leq a+2$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、関数 $y = -x^2 + 4x$ の $a \leq x \leq a+2$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 + 4x$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -(x-2)^2 + 4$

したがって、この関数のグラフは、頂点が $(2, 4)$ で上に凸な放物線です。

次に、定義域 $a \leq x \leq a+2$ がどのように動くかによって、最大値がどのように変化するかを考えます。

場合分けは以下のようになります。

(1) $a + 2 < 2$ つまり $a < 0$ のとき

このとき、定義域は $2$ より左側にあり、定義域の右端 $x = a+2$ で最大となります。

最大値は $y = -(a+2)^2 + 4(a+2) = -a^2 - 4a - 4 + 4a + 8 = -a^2 + 4$

(2) $a \leq 2 \leq a+2$ つまり $0 \leq a \leq 2$ のとき

このとき、頂点 $x = 2$ が定義域に含まれるので、最大値は頂点の $y$ 座標である $4$ となります。

(3) $a > 2$ のとき

このとき、定義域は $2$ より右側にあり、定義域の左端 $x = a$ で最大となります。

最大値は $y = -a^2 + 4a$

まとめると、

- $a < 0$ のとき、最大値は $-a^2 + 4$

- $0 \leq a \leq 2$ のとき、最大値は $4$

- $a > 2$ のとき、最大値は $-a^2 + 4a$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最大値は $-a^2 + 4$

$0 \leq a \leq 2$ のとき、最大値は $4$

$a > 2$ のとき、最大値は $-a^2 + 4a$