関数 $f(x) = 4^{x+1} - 2^{x+3} + 3$ について、 $2^x = t$ とおいたときの $f(x)$ の式を求め、方程式 $f(x) = 0$ を満たす $x$ の値を求め、さらに $f(x)$ の最小値とそれを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^{x+1} - 2^{x+3} + 3$ について、 $2^x = t$ とおいたときの $f(x)$ の式を求め、方程式 $f(x) = 0$ を満たす $x$ の値を求め、さらに $f(x)$ の最小値とそれを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $t = 2^x$ とおくと、 $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2 = 4t^2$、 $2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8t$ となるので、

$f(x) = 4t^2 - 8t + 3$

(2) 方程式 $f(x) = 0$ を解きます。

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

$(2t - 1)(2t - 3) = 0$

$t = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ より $x = -1$

$2^x = \frac{3}{2}$ より $x = \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 3 - \log_2 2 = \log_2 3 - 1$

(3) $f(x) = 4t^2 - 8t + 3 = 4(t^2 - 2t) + 3 = 4(t-1)^2 - 4 + 3 = 4(t-1)^2 - 1$

ここで、$t = 2^x > 0$ であるから、 $t=1$ のとき最小値 $-1$ をとります。

$t=1$ のとき、$2^x = 1 = 2^0$ より $x=0$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 8

ウエ: -1

オ: 3

カ: 0

キク: -1