(1) $a^{1/2} + a^{-1/2} = 3$ ($a > 1$)のとき、$a + a^{-1}$と$a^2 - a^{-2}$の値を求める。 (2) 三つの数$a = \log_2 3$, $b = \log_4 7$, $c = 1 + \log_2 \sqrt[3]{3}$を考える。このとき、$6a$, $6b$, $6c$の値をそれぞれ$\log_2$の形で表し、$a$, $b$, $c$を小さい順に並べる。

1. 問題の内容

(1) $a^{1/2} + a^{-1/2} = 3$ ($a > 1$)のとき、$a + a^{-1}$と$a^2 - a^{-2}$の値を求める。

(2) 三つの数$a = \log_2 3$, $b = \log_4 7$, $c = 1 + \log_2 \sqrt[3]{3}$を考える。このとき、$6a$, $6b$, $6c$の値をそれぞれ$\log_2$の形で表し、$a$, $b$, $c$を小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a + a^{-1}$を求める。$a^{1/2} + a^{-1/2} = 3$の両辺を2乗すると、

$(a^{1/2} + a^{-1/2})^2 = 3^2$

$a + 2 a^{1/2} a^{-1/2} + a^{-1} = 9$

$a + 2 + a^{-1} = 9$

$a + a^{-1} = 7$

次に、$a^2 - a^{-2}$を求める。

$a^2 - a^{-2} = (a + a^{-1})(a - a^{-1})$

$a - a^{-1}$を求めるために、$(a - a^{-1})^2 = (a + a^{-1})^2 - 4$を利用する。

$(a - a^{-1})^2 = 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45$

$a - a^{-1} = \pm \sqrt{45} = \pm 3\sqrt{5}$

$a > 1$より、$a^{1/2} > a^{-1/2}$だから、$a > a^{-1}$である。よって、$a - a^{-1} > 0$なので、$a - a^{-1} = 3\sqrt{5}$となる。

したがって、$a^2 - a^{-2} = (a + a^{-1})(a - a^{-1}) = 7 \cdot 3\sqrt{5} = 21\sqrt{5}$

(2)

$6a = 6 \log_2 3 = \log_2 (3^6) = \log_2 729$

$6b = 6 \log_4 7 = 6 \frac{\log_2 7}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 7}{2} = 3 \log_2 7 = \log_2 (7^3) = \log_2 343$

$6c = 6(1 + \log_2 \sqrt[3]{3}) = 6 + 6 \log_2 3^{1/3} = 6 + 6 \cdot \frac{1}{3} \log_2 3 = 6 + 2 \log_2 3 = \log_2 2^6 + \log_2 3^2 = \log_2 64 + \log_2 9 = \log_2 (64 \cdot 9) = \log_2 576$

したがって、$6b < 6c < 6a$となるので、$b < c < a$

3. 最終的な答え

(1) ア：7、イウ：21、エ：5

(2) オカキ：729、クケコ：343、サシス：576

セ：b、ソ：c、タ：a