与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解または簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解または簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ac + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

したがって、

\begin{align*}

& a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc \\

&= (ab^2 - 2abc + ac^2) + (bc^2 - 2abc + ba^2) + (ca^2 - 2abc + cb^2) + 8abc \\

&= ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + a^2b + a^2c - 2abc + b^2c + 8abc \\

&= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b - 6abc + 8abc \\

&= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc \\

\end{align*}

次に、上記の式を因数分解することを考えます。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$