与えられた2変数多項式 $3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理して因数分解を試みます。

\begin{align*}

3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6 &= 3x^2 + (2y - 11)x - (y^2 - y - 6) \\

&= 3x^2 + (2y - 11)x - (y - 3)(y + 2)

\end{align*}

次に、$3x^2 + (2y - 11)x - (y - 3)(y + 2)$ を $(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定して、係数を比較します。

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (3c + a)xy + acy^2 + (3d + b)x + (ad + bc)y + bd$

係数を比較すると、

\begin{align*}

3c + a &= 2 \\

ac &= -1 \\

3d + b &= -11 \\

ad + bc &= 1 \\

bd &= 6

\end{align*}

$ac = -1$ より、$a = 1$、$c = -1$ または $a = -1$、$c = 1$ が考えられます。

(i) $a = 1$、$c = -1$ のとき、$3c + a = -3 + 1 = -2$ となり、$3c+a=2$ を満たしません。

(ii) $a = -1$、$c = 1$ のとき、$3c + a = 3 - 1 = 2$ となり、$3c+a=2$ を満たします。

よって、$a = -1$、$c = 1$ です。

$ad + bc = -d + b = 1$ より、$b = d + 1$ です。

$3d + b = 3d + d + 1 = 4d + 1 = -11$ より、$4d = -12$ なので、$d = -3$ です。

$b = d + 1 = -3 + 1 = -2$ です。

$bd = (-2)(-3) = 6$ なので、$bd = 6$ を満たします。

したがって、因数分解の結果は

$3x^2 + 2xy - y^2 - 11x + y + 6 = (3x - y - 2)(x + y - 3)$

となります。

3. 最終的な答え

$(3x - y - 2)(x + y - 3)$