与えられた対数の性質を用いて、対数の値を$a$と$b$で表したり、対数不等式を解いたりする問題です。 (1) $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$のとき、$\log_{10}360$と$\log_{4}13.5$を$a$と$b$で表す。 (2) $\log_{3}(x+2) + \log_{3}(x-4) \le 3$を満たす$x$の範囲を求める。 (3) $2\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$を満たす$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた対数の性質を用いて、対数の値を$a$と$b$で表したり、対数不等式を解いたりする問題です。

(1) $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$のとき、$\log_{10}360$と$\log_{4}13.5$を$a$と$b$で表す。

(2) $\log_{3}(x+2) + \log_{3}(x-4) \le 3$を満たす$x$の範囲を求める。

(3) $2\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$を満たす$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10}360$を計算します。

$360 = 36 \times 10 = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times \frac{10}{2}$.

$\log_{10}360 = \log_{10}(2^3 \times 3^2 \times \frac{10}{2}) = \log_{10}(2^2 \times 3^2 \times 10) = \log_{10}2^2 + \log_{10}3^2 + \log_{10}10 = 2\log_{10}2 + 2\log_{10}3 + 1 = 2a + 2b + 1$.

よって、ア=2, イ=2, ウ=

1.

$\log_{4}13.5 = \log_{4}\frac{27}{2} = \log_{4}27 - \log_{4}2 = \log_{4}3^3 - \log_{4}2 = 3\log_{4}3 - \log_{4}2 = \frac{3\log_{10}3}{\log_{10}4} - \frac{\log_{10}2}{\log_{10}4} = \frac{3b}{2\log_{10}2} - \frac{a}{2\log_{10}2} = \frac{3b}{2a} - \frac{a}{2a} = \frac{3b - a}{2a}$.

よって、エ=3, オ=

2.

(2)

真数条件より、$x+2 > 0$かつ$x-4 > 0$なので、$x > -2$かつ$x > 4$。よって、$x > 4$。

$\log_{3}(x+2) + \log_{3}(x-4) \le 3$

$\log_{3}((x+2)(x-4)) \le 3$

$(x+2)(x-4) \le 3^3$

$x^2 - 2x - 8 \le 27$

$x^2 - 2x - 35 \le 0$

$(x-7)(x+5) \le 0$

$-5 \le x \le 7$。

真数条件$x > 4$との共通範囲は、$4 < x \le 7$.

よって、カ=4, キ=

7.

(3)

真数条件より、$x > 0$かつ$x+2 > 0$なので、$x > 0$。

$2\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

$\log_{\frac{1}{3}}x^2 > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

底$\frac{1}{3}$は1より小さいので、$x^2 < x+2$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$-1 < x < 2$.

真数条件$x > 0$との共通範囲は、$0 < x < 2$.

よって、ク=0, ケ=

2.

3. 最終的な答え

(1) ア=2, イ=2, ウ=1, エ=3, オ=2

(2) カ=4, キ=7

(3) ク=0, ケ=2