与えられた連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。方程式は以下の通りです。 $x_1 + x_2 + x_3 = 2$ $3x_1 + ax_2 + x_3 = 8$ $2x_1 + 4x_2 = 6$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。方程式は以下の通りです。

$x_1 + x_2 + x_3 = 2$

$3x_1 + ax_2 + x_3 = 8$

$2x_1 + 4x_2 = 6$

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を行列で表現します。係数行列をA、変数ベクトルをx、定数ベクトルをbとすると、$Ax = b$となります。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & a & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}$

拡大係数行列$(A|b)$を作成します。

$(A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & a & 1 & 8 \\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

この拡大係数行列を簡約化（行基本変形）して解を求めます。

1. 2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & a-3 & -2 & 2 \\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

2. 3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & a-3 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

3. 3行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & a-3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

4. 1行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & a-3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

5. 2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & a-3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

6. 3行目から2行目の$(a-3)$倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a-5 & 5-a \end{pmatrix}$

ここで、場合分けが発生します。

* $a = 5$ の場合、3行目は $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ となり、$x_3$ が任意の値をとります。このとき、不定解となります。

$x_2 - x_3 = 1$より、$x_2 = x_3 + 1$

$x_1 + 2x_3 = 1$より、$x_1 = 1 - 2x_3$

* $a \neq 5$ の場合、 $x_3 = -1$ となります。

$x_2 - (-1) = 1$より、$x_2 = 0$

$x_1 + 2(-1) = 1$より、$x_1 = 3$

したがって、$a \neq 5$のとき$x_1 = 3, x_2 = 0, x_3 = -1$

3. 最終的な答え

* $a = 5$のとき、不定解であり、$x_1 = 1 - 2x_3$, $x_2 = x_3 + 1$, $x_3$は任意の実数。

* $a \neq 5$のとき、$x_1 = 3$, $x_2 = 0$, $x_3 = -1$