$x = \sqrt{6} + 2$、 $y = \sqrt{6} - 2$ が与えられたとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{6} + 2$、 $y = \sqrt{6} - 2$ が与えられたとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^3 + y^3$ を因数分解すると、

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

となる。

さらに、$x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy$ であるから、

$x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

となる。

まず、$x+y$ を計算する。

$x+y = (\sqrt{6} + 2) + (\sqrt{6} - 2) = 2\sqrt{6}$

次に、$xy$ を計算する。

$xy = (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

したがって、

$x^3 + y^3 = (2\sqrt{6})((2\sqrt{6})^2 - 3(2))$

$= (2\sqrt{6})(24 - 6)$

$= (2\sqrt{6})(18)$

$= 36\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$36\sqrt{6}$