2次方程式 $x^2 + kx - k + 3 = 0$ が与えられています。以下の2つの条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの負の解をもつ (2) 正の解と負の解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + kx - k + 3 = 0$ が与えられています。以下の2つの条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの負の解をもつ

(2) 正の解と負の解をもつ

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの負の解をもつ場合

2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

また、2つの解がともに負である条件は、解と係数の関係から、解の和が負で、解の積が正であることです。

判別式 $D$ は

$D = k^2 - 4(1)(-k+3) = k^2 + 4k - 12 > 0$

$(k+6)(k-2) > 0$

$k < -6$ または $k > 2$

解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -k < 0$ よって $k > 0$

$\alpha \beta = -k+3 > 0$ よって $k < 3$

以上より、$2 < k < 3$

(2) 正の解と負の解をもつ場合

2次方程式が正の解と負の解をもつ条件は、解の積が負になることです。

解と係数の関係より、解の積は $-k+3$ であるので、

$-k+3 < 0$

$k > 3$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの負の解をもつとき: $2 < k < 3$

(2) 正の解と負の解をもつとき: $k > 3$