不等式の性質を用いて、以下の2つの事柄を示す問題です。 (1) $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば $\frac{a}{b} > 0$ である。 (2) $a > b > 0$ かつ $c > d > 0$ ならば $ac > bd$ である。

1. 問題の内容

不等式の性質を用いて、以下の2つの事柄を示す問題です。

(1) $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば $\frac{a}{b} > 0$ である。

(2) $a > b > 0$ かつ $c > d > 0$ ならば $ac > bd$ である。

2. 解き方の手順

(1) $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば $\frac{a}{b} > 0$ であることの証明

* $a < 0$ より、$-a > 0$。

* $b < 0$ より、$-b > 0$。

* $\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}$ である。

* $-a > 0$ かつ $-b > 0$ より、$\frac{-a}{-b} > 0$。したがって、$\frac{a}{b} > 0$。

(2) $a > b > 0$ かつ $c > d > 0$ ならば $ac > bd$ であることの証明

* $a > b > 0$ より、$a > b$。

* $c > 0$ より、$ac > bc$。

$ac > bc$ (1)

* $c > d > 0$ より、$c > d$。

* $b > 0$ より、$bc > bd$。

$bc > bd$ (2)

(1)と(2)より、$ac > bc > bd$ であるから、$ac > bd$。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば $\frac{a}{b} > 0$ である。

(2) $a > b > 0$ かつ $c > d > 0$ ならば $ac > bd$ である。