画像にある3つの問題を解く。

1. 問題の内容

画像にある3つの問題を解く。

2. 解き方の手順

**問題1:**

与えられた方程式は $4^{2x} = 8^{1-x}$ である。

まず、両辺を2の累乗の形に書き換える。

$4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x}$

$8^{1-x} = (2^3)^{1-x} = 2^{3(1-x)} = 2^{3-3x}$

したがって、方程式は $2^{4x} = 2^{3-3x}$ となる。

指数部分を比較して、$4x = 3-3x$

$4x + 3x = 3$

$7x = 3$

$x = \frac{3}{7}$

**問題2:**

与えられた不等式は $16^x - 3 \cdot 4^{x+1} - 64 \le 0$ である。

$t = 4^x$ とおくと、$16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 = t^2$ および $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4t$ となる。

したがって、不等式は $t^2 - 3 \cdot 4t - 64 \le 0$、つまり $t^2 - 12t - 64 \le 0$ となる。

この2次不等式を解く。

$(t-16)(t+4) \le 0$

したがって、$-4 \le t \le 16$ となる。

$t = 4^x > 0$ より、$0 < t \le 16$となる。

$t = 4^x$ なので、$4^x \le 16$ より、$4^x \le 4^2$

したがって、$x \le 2$

**問題3:**

与えられた式は $\log_6 9 + \log_6 24 = \log_6 (\frac{6}{14})$ である。

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用いる。

$\log_6 9 + \log_6 24 = \log_6 (9 \cdot 24) = \log_6 216$

$216 = 6^3$ なので、$\log_6 216 = \log_6 6^3 = 3$

3. 最終的な答え

問題1: $x = \frac{3}{7}$

問題2: $x \le 2$

問題3: $\log_6 9 + \log_6 24 = 3$