次の式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 4x + 4$ (2) $4x^2 - 20xy + 25y^2$ (3) $36x^2 - 49y^2$ (4) $x^2 + 5x - 24$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 4x + 4$

(2) $4x^2 - 20xy + 25y^2$

(3) $36x^2 - 49y^2$

(4) $x^2 + 5x - 24$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4x + 4$

これは完全平方式です。$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$の形と比較すると、$2a = 4$より$a = 2$。

よって、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

(2) $4x^2 - 20xy + 25y^2$

これも完全平方式です。$(ax+by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$の形と比較します。

$4x^2 = (2x)^2$なので、$a=2$。

$25y^2 = (5y)^2$なので、$b = -5$ (符号に注意)

$2abxy = 2(2)(-5)xy = -20xy$

よって、$4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2$

(3) $36x^2 - 49y^2$

これは二乗の差の形です。$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$を利用します。

$36x^2 = (6x)^2$

$49y^2 = (7y)^2$

よって、$36x^2 - 49y^2 = (6x + 7y)(6x - 7y)$

(4) $x^2 + 5x - 24$

これは$(x+a)(x+b)$の形に因数分解します。$ab = -24$で$a+b = 5$となる$a$と$b$を見つけます。

$a = 8, b = -3$が条件を満たします。

よって、$x^2 + 5x - 24 = (x+8)(x-3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)^2$

(2) $(2x-5y)^2$

(3) $(6x+7y)(6x-7y)$

(4) $(x+8)(x-3)$