与えられた問題の中から、131番の(1)の問題を解きます。 $a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{4}{a} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題の中から、131番の(1)の問題を解きます。

$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{4}{a} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求めます。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用します。

$a > 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$が成り立ちます。等号が成立するのは $a=b$ の時です。

$a > 0$ より、$a$ と $\frac{4}{a}$ は正の数なので、相加平均と相乗平均の関係が使えます。

$a$ と $\frac{4}{a}$ の相加平均は $\frac{a + \frac{4}{a}}{2}$ であり、相乗平均は $\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = \sqrt{4} = 2$ です。したがって、

$$$$

\frac{a + \frac{4}{a}}{2} \geq 2

$$$$

両辺に2を掛けると、

$$$$

a + \frac{4}{a} \geq 4

$$$$

となり、不等式が証明されました。

等号が成り立つのは、$a = \frac{4}{a}$ のときです。両辺に $a$ を掛けると、$a^2 = 4$ となり、$a > 0$ より、$a = 2$ です。

3. 最終的な答え

不等式 $a + \frac{4}{a} \geq 4$ は証明されました。

等号が成り立つのは $a=2$ のときです。