$a > b > c > d$ のとき、次の不等式を証明せよ。 (1) $ab + bc > b^2 + ca$ (2) $a^2 + cd > ac + ad$

1. 問題の内容

$a > b > c > d$ のとき、次の不等式を証明せよ。

(1) $ab + bc > b^2 + ca$

(2) $a^2 + cd > ac + ad$

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $ab + bc > b^2 + ca$ を証明するために、左辺から右辺を引いたものが正であることを示す。

$ab + bc - (b^2 + ca) = ab + bc - b^2 - ca = b(a + c - b) - ca$

$= b(a-b) + b(c-a) = b(a-b) - b(a-c)$

与えられた条件 $a > b > c > d$ より、$a - b > 0$ および $a - c > 0$ である。さらに、$b > 0$ (条件から推測) なので、$b(a-b) > 0$ かつ $b(a-c) > 0$。

変形を続ける。

$ab+bc - b^2 - ca = ab - b^2 - ca + bc = b(a-b) - c(a-b) = (a-b)(b-c)$

$a > b$ より $a-b > 0$であり、$b > c$ より $b-c > 0$である。

したがって、$(a-b)(b-c) > 0$。

ゆえに、$ab + bc > b^2 + ca$ が成り立つ。

(2) 不等式 $a^2 + cd > ac + ad$ を証明するために、左辺から右辺を引いたものが正であることを示す。

$a^2 + cd - (ac + ad) = a^2 + cd - ac - ad = a(a-c) - d(a-c) = (a-d)(a-c)$

与えられた条件 $a > b > c > d$ より、$a > d$ かつ $a > c$ なので、$a - d > 0$ かつ $a - c > 0$。

したがって、$(a-d)(a-c) > 0$。

ゆえに、$a^2 + cd > ac + ad$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $ab + bc > b^2 + ca$

(2) $a^2 + cd > ac + ad$