問題は5つの小問から構成されています。 (1) $x^2 - 2x + 1$ を因数分解する。 (2) 集合 $A = \{x | a \le x \le a+1\}$ と $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ について、$A \cap B = \emptyset$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。 (4) A, A, A, B, B, C, D の7文字を横一列に並べる場合の数を求める。さらに、A, A, A が連続し、かつ B, B も連続している並べ方を求める。 (5) 10人の生徒の小テストの得点データが与えられたとき、四分位範囲と分散を求める。

1. 問題の内容

問題は5つの小問から構成されています。

(1) $x^2 - 2x + 1$ を因数分解する。

(2) 集合 $A = \{x | a \le x \le a+1\}$ と $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ について、$A \cap B = \emptyset$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

(4) A, A, A, B, B, C, D の7文字を横一列に並べる場合の数を求める。さらに、A, A, A が連続し、かつ B, B も連続している並べ方を求める。

(5) 10人の生徒の小テストの得点データが与えられたとき、四分位範囲と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

(2) $A \cap B = \emptyset$ となる条件を考える。

$A$ は区間 $[a, a+1]$ を表し、$B$ は区間 $(-\infty, -3)$ と $(2, \infty)$ を表す。

$A \cap B = \emptyset$ となるのは、$A$ が $B$ の区間と交わらないとき。

つまり、$a+1 \le -3$ または $a \ge 2$。

よって、$a \le -4$ または $a \ge 2$。

(3) $\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ より、$\tan \theta = -\sqrt{3}$。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\theta = 120^\circ$。

(4) 7文字 A, A, A, B, B, C, D を並べる場合の数は、同じ文字がある順列なので、$\frac{7!}{3!2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2} = 420$ 通り。

A, A, A が連続し、B, B が連続している並べ方を考える。

AAAとBBをそれぞれ1つのまとまりとして考えれば、AAA, BB, C, D の4つのものを並べることになる。

この並べ方は $4! = 24$ 通り。

(5) 与えられたデータは 5, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10。

データを小さい順に並べると上記。

データの個数は10個。

第一四分位数は、小さい方から $10 \times \frac{1}{4} = 2.5$ 番目の値なので、3番目の値、つまり6。 $Q_1 = 6$

第三四分位数は、小さい方から $10 \times \frac{3}{4} = 7.5$ 番目の値なので、8番目の値、つまり10。 $Q_3 = 10$

四分位範囲は $Q_3 - Q_1 = 10 - 6 = 4$。

平均値は $\frac{5+6+6+8+8+8+9+10+10+10}{10} = \frac{80}{10} = 8$。

分散は $\frac{(5-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2}{10} = \frac{9+4+4+0+0+0+1+4+4+4}{10} = \frac{30}{10} = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2$

(2) $a \le -4$ または $a \ge 2$

(3) $120$

(4) $420$, $24$

(5) $4$, $3$