与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n + 4$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n + 4$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n + 4$ の場合

特性方程式 $x = 3x + 4$ を解くと $x = -2$。

したがって、漸化式は

$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$

と変形できる。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$。

$b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ なので、$b_n$ は初項 4、公比 3 の等比数列である。

よって、$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$。

$a_n = b_n - 2 = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

(2) $a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}$ の場合

両辺を $4^{n+1}$ で割ると

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{4a_n}{4^{n+1}} + \frac{2^{n+1}}{4^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{4^n} + \frac{1}{2^{n+1}}$

$b_n = \frac{a_n}{4^n}$ とおくと、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2^{n+1}}$。

したがって、$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{2^{n+1}}$。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}}$

$b_1 = \frac{a_1}{4^1} = \frac{1}{4}$ なので

$b_n = \frac{1}{4} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{4} + \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{2})^{n-1})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^{n-1}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^n} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2^n}$

$a_n = 4^n b_n = 4^n (\frac{3}{4} - \frac{1}{2^n}) = 3 \cdot 4^{n-1} - 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

(2) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1} - 2^n$