$x = \frac{2a}{a^2+1}$ （ただし $a>0$）のとき、$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$ を $a$ で表せ。

1. 問題の内容

$x = \frac{2a}{a^2+1}$ （ただし $a>0$）のとき、$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$ を $a$ で表せ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$ を計算するために、まず $1+x$ と $1-x$ を $a$ を用いて表す。

$1+x = 1 + \frac{2a}{a^2+1} = \frac{a^2+1+2a}{a^2+1} = \frac{(a+1)^2}{a^2+1}$

$1-x = 1 - \frac{2a}{a^2+1} = \frac{a^2+1-2a}{a^2+1} = \frac{(a-1)^2}{a^2+1}$

したがって、

$\sqrt{1+x} = \sqrt{\frac{(a+1)^2}{a^2+1}} = \frac{|a+1|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{a+1}{\sqrt{a^2+1}}$ ($a>0$ より $a+1>0$ なので絶対値を外せる)

$\sqrt{1-x} = \sqrt{\frac{(a-1)^2}{a^2+1}} = \frac{|a-1|}{\sqrt{a^2+1}}$

ここで、$|a-1|$ の絶対値を外す必要がある。

$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} = \frac{a+1}{\sqrt{a^2+1}} - \frac{|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{a+1-|a-1|}{\sqrt{a^2+1}}$

場合分けをする。

(i) $0 < a \le 1$ のとき、$|a-1| = 1-a$ であるから

$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} = \frac{a+1-(1-a)}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}$

(ii) $a > 1$ のとき、$|a-1| = a-1$ であるから

$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} = \frac{a+1-(a-1)}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき: $\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}$

$a > 1$ のとき: $\frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$