25番から27番の問題を解きます。 25番は、2つのベクトルのなす角$\theta$を求める問題です。 26番は、2つのベクトルが垂直になるような$x$の値を求める問題です。 27番は、与えられたベクトルに垂直な単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

25番から27番の問題を解きます。

25番は、2つのベクトルのなす角$\theta$を求める問題です。

26番は、2つのベクトルが垂直になるような$x$の値を求める問題です。

27番は、与えられたベクトルに垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

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5. (1) $\vec{a} = (3, 1)$, $\vec{b} = (2, -1)$

ベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を利用します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 6 - 1 = 5$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ (または $45^\circ$)

(2) $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (3, -6)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-6) = 6 - 6 = 0$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ (または $90^\circ$)

(3) $\vec{a} = (1, 3\sqrt{3})$, $\vec{b} = (\sqrt{3}, 2)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 2 = \sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 27} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{7} \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$ (または $30^\circ$)

(4) $\vec{a} = (1, 1)$, $\vec{b} = (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (1-\sqrt{3}) + 1 \cdot (1+\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(1-\sqrt{3})^2 + (1+\sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (1 + 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$)

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6. (1) $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (x, 6)$

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$2x + 3 \cdot 6 = 0$

$2x + 18 = 0$

$2x = -18$

$x = -9$

(2) $\vec{a} = (x, -2x)$, $\vec{b} = (3x-4, x)$

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$x(3x-4) + (-2x)(x) = 0$

$3x^2 - 4x - 2x^2 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

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7. $\vec{a} = (-3, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{b} = (x, y)$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow -3x + y = 0$, よって $y = 3x$.

$|\vec{b}| = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1$.

$x^2 + (3x)^2 = 1$

$x^2 + 9x^2 = 1$

$10x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{10}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{10}}$ のとき $y = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ のとき $y = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

よって、$\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}), (-\frac{1}{\sqrt{10}}, -\frac{3}{\sqrt{10}})$

3. 最終的な答え

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5. (1) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{2}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{6}$

(4) $\theta = \frac{\pi}{3}$

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6. (1) $x = -9$

(2) $x = 0, 4$

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7. $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}), (-\frac{1}{\sqrt{10}}, -\frac{3}{\sqrt{10}})$