$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x^3y + xy^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x^3y + xy^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^3y + xy^3$ を因数分解します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$

$x^2+y^2$を$(x+y)^2$と$xy$を用いて変形します。

$xy(x^2 + y^2) = xy((x+y)^2 - 2xy)$

$x$と$y$の値を代入して、$x+y$と$xy$を計算します。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

$xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

したがって、

$xy((x+y)^2 - 2xy) = 1(4^2 - 2(1)) = 1(16 - 2) = 14$

3. 最終的な答え

14