放物線 $y=2x^2$ を平行移動した曲線で、点$(2,-7)$を通り、頂点が $y=-x^2$ 上にある放物線を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2$ を平行移動した曲線で、点$(2,-7)$を通り、頂点が $y=-x^2$ 上にある放物線を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y=2x^2$ を平行移動した曲線は、一般に $y=2(x-p)^2 + q$ と表せる。

ここで、$(p,q)$ は頂点の座標である。

問題文より、頂点は $y=-x^2$ 上にあるので、$q = -p^2$ である。

したがって、放物線は $y = 2(x-p)^2 - p^2$ と表せる。

この放物線が点 $(2,-7)$ を通るので、$x=2, y=-7$ を代入すると、

$-7 = 2(2-p)^2 - p^2$

$-7 = 2(4 - 4p + p^2) - p^2$

$-7 = 8 - 8p + 2p^2 - p^2$

$p^2 - 8p + 15 = 0$

$(p-3)(p-5) = 0$

よって、$p=3$ または $p=5$ である。

$p=3$ のとき、$q=-p^2 = -3^2 = -9$ より、放物線は $y = 2(x-3)^2 - 9$。

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 9$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 9$

$y = 2x^2 - 12x + 9$

$p=5$ のとき、$q=-p^2 = -5^2 = -25$ より、放物線は $y = 2(x-5)^2 - 25$。

$y = 2(x^2 - 10x + 25) - 25$

$y = 2x^2 - 20x + 50 - 25$

$y = 2x^2 - 20x + 25$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 12x + 9$

または

$y = 2x^2 - 20x + 25$