与えられた関数 $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 関数が最大値をとるときの $x$ 座標を求めます。 (2) 関数と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ について、以下の2つの問題を解きます。

(1) 関数が最大値をとるときの $x$ 座標を求めます。

(2) 関数と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数が最大値をとるときの $x$ 座標を求める

関数 $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ は上に凸な二次関数なので、頂点で最大値を持ちます。頂点の $x$ 座標を求めるには、平方完成する方法と微分する方法があります。ここでは平方完成の方法を使います。

$f(x) = -(x^2 - 4x) + 5$

$f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 5 + 4$

$f(x) = -(x - 2)^2 + 9$

したがって、関数 $f(x)$ は $x = 2$ で最大値をとります。

(2) 関数と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求める

$x$ 軸との交点を求めるには、$f(x) = 0$ となる $x$ を求めればよいです。

$-x^2 + 4x + 5 = 0$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0$

$x = 5$ または $x = -1$

したがって、関数 $f(x)$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x = 5$ と $x = -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 関数が最大値をとるときの $x$ 座標：$x = 2$

(2) 関数と $x$ 軸との交点の $x$ 座標：$x = 5, -1$