複素数 $i$ の100乗 $i^{100}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数 $i$ の100乗 $i^{100}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$i$ は虚数単位であり、$i^2 = -1$ という性質を持ちます。

$i$ のべき乗は周期的に変化します。

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

$i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$

このように、$i^n$ は $n$ を4で割った余りによって決まります。

$i^{4k} = 1$

$i^{4k+1} = i$

$i^{4k+2} = -1$

$i^{4k+3} = -i$

（ここで $k$ は整数）

$100$ を $4$ で割ると、$100 = 4 \cdot 25$ となり、余りは $0$ です。

したがって、$i^{100} = i^{4 \cdot 25} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$i^{100} = 1$