与えられた等式 $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

\begin{align*}

a(x+1)^2 + b(x+1) + c &= a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c \\

&= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c \\

&= ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)

\end{align*}

これが $2x^2 + 1$ と恒等式なので、各項の係数が等しくなります。したがって、次の連立方程式が得られます。

\begin{align*}

a &= 2 \\

2a + b &= 0 \\

a + b + c &= 1

\end{align*}

1番目の式から $a=2$ が分かります。これを2番目の式に代入すると、

$2(2) + b = 0$ より $4 + b = 0$ なので、 $b = -4$ が得られます。

最後に、 $a=2$ と $b=-4$ を3番目の式に代入すると、

$2 + (-4) + c = 1$ より $-2 + c = 1$ なので、 $c = 3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -4$, $c = 3$