$(x+1)^5$ の $x^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x+1)^5$ の $x^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を使って展開します。

二項定理は以下のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = x$, $b = 1$, $n = 5$ なので、

$(x+1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 1^k = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k}$

$x^3$の係数を求めるためには、$5-k = 3$となる$k$の値を探します。

$5-k = 3$ より、$k = 2$となります。

したがって、$x^3$の項は$\binom{5}{2} x^{5-2} = \binom{5}{2} x^3$です。

二項係数$\binom{5}{2}$を計算します。

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、$x^3$の係数は10です。

3. 最終的な答え

10