複素数の問題です。与えられた式は以下です。 $\frac{1}{(1-i)^9} = (1-i)^{-9}$ この等式が成り立つことを証明する必要があります。

1. 問題の内容

複素数の問題です。与えられた式は以下です。

$\frac{1}{(1-i)^9} = (1-i)^{-9}$

この等式が成り立つことを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

左辺を計算します。

$\frac{1}{(1-i)^9}$

まず、$1-i$ を極形式で表します。

$1-i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{4}$

したがって、

$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

ド・モアブルの定理より、

$(1-i)^9 = (\sqrt{2})^9(\cos(-\frac{9\pi}{4}) + i\sin(-\frac{9\pi}{4}))$

$= 2^{9/2}(\cos(-\frac{9\pi}{4}) + i\sin(-\frac{9\pi}{4}))$

$= 2^{9/2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$= 2^{9/2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i)$

$= 2^4(1-i) = 16(1-i)$

よって、

$\frac{1}{(1-i)^9} = \frac{1}{16(1-i)} = \frac{1+i}{16(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{16(1^2 - (i)^2)} = \frac{1+i}{16(1-(-1))} = \frac{1+i}{32}$

次に、右辺を計算します。

$(1-i)^{-9} = \frac{1}{(1-i)^9}$

上記と同様に計算すると、

$(1-i)^{-9} = \frac{1}{16(1-i)} = \frac{1+i}{32}$

したがって、左辺 = 右辺 が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(1-i)^9} = \frac{1+i}{32}$

$(1-i)^{-9} = \frac{1+i}{32}$

したがって、与えられた等式は成り立つ。

$\frac{1}{(1-i)^9} = (1-i)^{-9}$