与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) - 3x^2$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) - 3x^2$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) - 3x^2$ の積の順序を工夫します。$(x-1)(x-6)$と$(x-2)(x-3)$を先に計算します。

$(x-1)(x-6) = x^2 - 7x + 6$

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

次に、これらの結果を代入し、展開します。

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 5x + 6) - 3x^2 = (x^2 - 6x - x + 6)(x^2 - 6x + x + 6) - 3x^2$

ここで、$A = x^2+6$、$B=-6x$、$C=-x$とおくと、

$(A+B+C)(A+B-C)-3x^2$ となり、$A+B=x^2-6x+6$

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 5x + 6) = (x^2 - 6x + 6 - x)(x^2 - 6x + 6 + x) = (x^2 - 6x + 6)^2 - x^2$

$(x^2-6x+6)^2-x^2 - 3x^2 = (x^2-6x+6)^2-4x^2$

$= (x^2 - 6x + 6)(x^2 - 6x + 6) - 4x^2$

$= x^4 - 6x^3 + 6x^2 - 6x^3 + 36x^2 - 36x + 6x^2 - 36x + 36 - 4x^2$

$= x^4 - 12x^3 + (6 + 36 + 6 - 4)x^2 + (-36 - 36)x + 36$

$= x^4 - 12x^3 + 44x^2 - 72x + 36$

3. 最終的な答え

$x^4 - 12x^3 + 44x^2 - 72x + 36$