以下の3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

以下の3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

根号の中を $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の形にする。$7 = a^2 + b^2$ かつ $10 = a^2 b^2$ となる $a$ と $b$ を探す。$a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}$ とすると、$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$となる。よって、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$

根号の中を $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形にする。$12 = a^2 + b^2$ かつ $27 = a^2 b^2$ となる $a$ と $b$ を探す。$a=3, b=\sqrt{3}$ とすると、$(3 - \sqrt{3})^2 = 9 - 6\sqrt{3} + 3 = 12 - 6\sqrt{3}$となる。よって、

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

根号の中を $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形にする。$4 = a^2 + b^2$ かつ $3 = a^2 b^2$ となる $a$ と $b$ を探す。$a=\sqrt{3}, b=1$ とすると、$(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$となる。よって、

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$