与えられた式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると二次式のように見えますが、$x^2$を新たな変数と置くことで、解きやすくなります。しかし、今回は直接因数分解を試みます。

まず、$x^4$ と $16$ の項に着目し、$(x^2 + 4)^2$ を展開すると、$x^4 + 8x^2 + 16$ となります。

元の式と比較すると、$x^4 - 9x^2 + 16$ なので、$8x^2$ から $-9x^2$ にするために、$17x^2$ を引けばよいことがわかります。

したがって、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 17x^2$ となります。

この式は、平方の差の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用できます。

$A = x^2 + 4$、$B = \sqrt{17}x$ とすると、

$(x^2 + 4)^2 - 17x^2 = (x^2 + 4 + \sqrt{17}x)(x^2 + 4 - \sqrt{17}x)$ となります。

係数が整数になるようにするために、別の方法を試します。

$x^4 - 9x^2 + 16$ を $(x^2 + ax + 4)(x^2 + bx + 4)$ と仮定して展開すると

$x^4 + (a+b)x^3 + (8 + ab)x^2 + 4(a+b)x + 16$ となります。

元の式と比較すると、$x^3$ と $x$ の係数が 0 なので、$a+b = 0$ が必要です。よって、$b = -a$ となります。

また、$x^2$ の係数は $-9$ なので、$8 + ab = -9$。これから $ab = -17$ です。

$b = -a$ なので、$a(-a) = -17$。よって $a^2 = 17$ で、$a = \pm \sqrt{17}$ となり、係数が整数になりません。

別の分解を試します。$(x^2 + ax - 4)(x^2 + bx - 4)$と仮定して展開すると

$x^4 + (a+b)x^3 + (ab-8)x^2 + (-4a-4b)x + 16$ となります。

同様に $x^3$ と $x$ の係数が 0 なので、$a+b = 0$, つまり、$b = -a$ が必要です。

$x^2$ の係数は $-9$ なので、$ab-8 = -9$。これから $ab = -1$ です。

$b = -a$ なので、$a(-a) = -1$。よって $a^2 = 1$ で、$a = \pm 1$ となります。

したがって、$a = 1$, $b = -1$ または $a = -1$, $b = 1$ です。

$a = 1$, $b = -1$ のとき、

$(x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$