与えられた数学の問題を解く。問題は、多項式の割り算、方程式、数列など、様々なトピックをカバーしている。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は、多項式の割り算、方程式、数列など、様々なトピックをカバーしている。

2. 解き方の手順

(1) 多項式の割り算

① $3x^2 - 2x + 1$ を $x-1$ で割った余りを求める。剰余の定理より、$x=1$ を代入して、$3(1)^2 - 2(1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$

② $2x^3 - 5x^2 + 3x + 1$ を $x+2$ で割った余りを求める。剰余の定理より、$x=-2$ を代入して、$2(-2)^3 - 5(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 2(-8) - 5(4) - 6 + 1 = -16 - 20 - 6 + 1 = -41$

(2) 多項式の割り算と定数決定

$P(x) = x^3 + ax^2 - x - a + 3$ を $x+3$ で割った余りが $-5$ なので、$P(-3) = -5$。

$(-3)^3 + a(-3)^2 - (-3) - a + 3 = -5$

$-27 + 9a + 3 - a + 3 = -5$

$8a - 21 = -5$

$8a = 16$

$a = 2$

(3) 多項式の割り算

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $3$ なので、$P(2) = 3$。

$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが $-7$ なので、$P(-3) = -7$。

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(2) = 2a + b = 3$

$P(-3) = -3a + b = -7$

この連立方程式を解く。

$2a + b = 3$

$-3a + b = -7$

上の式から下の式を引くと、$5a = 10$ より、$a = 2$。

$2(2) + b = 3$ より、$4 + b = 3$ なので、$b = -1$。

したがって、余りは $2x - 1$。

(4) 方程式を解く

① $x^3 = -27$ より、$x^3 + 27 = 0$。$(x+3)(x^2-3x+9) = 0$。よって、$x = -3, \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$。

② $x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0$。$(x-1)(x^2 - 8x + 15) = 0$。$(x-1)(x-3)(x-5) = 0$。よって、$x = 1, 3, 5$。

③ $(x-2)(x-1)x = 3 \cdot 4 \cdot 5$。$x(x-1)(x-2) = 60$。$x=5$ のとき、$5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ なので、$x = 5$。

(5) 1 の 3 乗根

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$

① $\omega^2 + \omega + 1 = 0$

② $\omega^{14} + \omega^7 + 1 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 + (\omega^3)^2 \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

③ $\omega^2 + \frac{1}{\omega^2} = \omega^2 + \frac{\omega}{\omega^3} = \omega^2 + \omega = -1$

(6) 数列の一般項

① $0, 2, 4, 6, 8, 10, ...$。 $a_n = 2(n-1)$

② $1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, ...$。 $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$

(7) 等差数列

$a_1 = 10$, $d = -4$

$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (n-1)(-4) = 10 - 4n + 4 = 14 - 4n$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(10 + 14 - 4n) = \frac{n}{2}(24 - 4n) = n(12 - 2n) = 12n - 2n^2$

(8) 等差数列

$a_5 = -5$, $a_{10} = 15$

$a_5 = a_1 + 4d = -5$

$a_{10} = a_1 + 9d = 15$

下の式から上の式を引くと、$5d = 20$ より、$d = 4$。

$a_1 + 4(4) = -5$ より、$a_1 = -21$。

$a_n = a_1 + (n-1)d = -21 + (n-1)(4) = -21 + 4n - 4 = 4n - 25$

(9) 等差数列

$a, 6, 2a$ が等差数列なので、$2 \cdot 6 = a + 2a$。

$12 = 3a$ より、$a = 4$。

(10) 5 で割って 2 余る数

$2, 7, 12, ..., 97$

$a_1 = 2$, $d = 5$

$a_n = 2 + (n-1)5 = 97$

$5n - 3 = 97$

$5n = 100$

$n = 20$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{20}{2}(2 + 97) = 10(99) = 990$

(11) 等比数列

① $-4, 8, -16, 32, ...$。 $a = -4$, $r = -2$。 $a_n = a r^{n-1} = -4(-2)^{n-1} = (-1)^n 2^{n+1}$. $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-4(1 - (-2)^n)}{1 - (-2)} = \frac{-4(1 - (-2)^n)}{3}$.

② $3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ...$。 $a = 3$, $r = \frac{1}{3}$. $a_n = 3 (\frac{1}{3})^{n-1} = 3^{1-(n-1)} = 3^{2-n}$. $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{3(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3(1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$.

(12) 等比数列

$a_2 = 3$, $S_3 = 13$

$a_2 = ar = 3$ より、$a = \frac{3}{r}$

$S_3 = a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = 13$

$\frac{3}{r}(1+r+r^2) = 13$

$3(1+r+r^2) = 13r$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

$r = \frac{1}{3}, 3$

$r = \frac{1}{3}$ のとき、$a = 9$。

$r = 3$ のとき、$a = 1$。

3. 最終的な答え

(1) ① 2 ② -41

(2) $a = 2$

(3) $2x - 1$

(4) ① $x = -3, \frac{3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$ ② $x = 1, 3, 5$ ③ $x = 5$

(5) ① 0 ② 0 ③ -1

(6) ① $a_n = 2(n-1)$ ② $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$

(7) $a_n = 14 - 4n$, $S_n = 12n - 2n^2$

(8) $a_n = 4n - 25$

(9) $a = 4$

(10) $990$

(11) ① $a_n = (-1)^n 2^{n+1}$, $S_n = \frac{-4(1 - (-2)^n)}{3}$ ② $a_n = 3^{2-n}$, $S_n = \frac{9}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$

(12) $(a, r) = (9, \frac{1}{3}), (1, 3)$