与えられた数列の和を$\Sigma$記号を用いて表し、その和を求める。問題は以下の4つの数列の和について答える。 (1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$ (2) $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + \dots + n^2(n+1)$ (3) $1 \cdot (2n-1) + 3 \cdot (2n-3) + 5 \cdot (2n-5) + \dots + (2n-1) \cdot 1$ (4) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 \cdot 7 + \dots + (2n-1)2n(2n+1)$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた数列の和を$\Sigma$記号を用いて表し、その和を求める。問題は以下の4つの数列の和について答える。

(1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

(2) $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + \dots + n^2(n+1)$

(3) $1 \cdot (2n-1) + 3 \cdot (2n-3) + 5 \cdot (2n-5) + \dots + (2n-1) \cdot 1$

(4) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 \cdot 7 + \dots + (2n-1)2n(2n+1)$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項は$(2k-1)^2$。$\Sigma$記号で表すと、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$となる。

展開して計算する。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) 数列の一般項は$k^2(k+1)$。$\Sigma$記号で表すと、$\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1)$となる。

展開して計算する。

$\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12} = \frac{n(n+1)(3n(n+1) + 2(2n+1))}{12}$

$= \frac{n(n+1)(3n^2+3n+4n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(3n^2+7n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

(3) 数列の一般項は$(2k-1)(2n - (2k-2) - 1) = (2k-1)(2n-2k+1)$。$\Sigma$記号で表すと、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1)$となる。

展開して計算する。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1)$

$= \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 4k - 2n - 1) = 4n\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} (2n+1)$

$= 4n\frac{n(n+1)}{2} - 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\frac{n(n+1)}{2} - n(2n+1)$

$= 2n^2(n+1) - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) - 2n^2 - n$

$= 2n^3 + 2n^2 - \frac{2n(2n^2+3n+1)}{3} + 2n^2 + 2n - 2n^2 - n$

$= 2n^3 + 2n^2 - \frac{4n^3+6n^2+2n}{3} + n = \frac{6n^3+6n^2 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n}{3}$

$= \frac{2n^3 + n}{3} = \frac{n(2n^2+1)}{3}$

(4) 数列の一般項は$(2k-1)(2k)(2k+1) = (4k^2-2k)(2k+1) = 8k^3 + 4k^2 - 4k^2 - 2k = 8k^3 - 2k$。$\Sigma$記号で表すと、$\sum_{k=1}^{n} (8k^3 - 2k)$となる。

展開して計算する。

$\sum_{k=1}^{n} (8k^3 - 2k) = 8\sum_{k=1}^{n} k^3 - 2\sum_{k=1}^{n} k$

$= 8(\frac{n(n+1)}{2})^2 - 2\frac{n(n+1)}{2} = 8\frac{n^2(n+1)^2}{4} - n(n+1)$

$= 2n^2(n+1)^2 - n(n+1) = n(n+1)(2n(n+1) - 1) = n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1) = \frac{n(2n^2+1)}{3}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k)(2k+1) = n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$