方程式 $4 \log_2(x-1) = \log_4(x+1)$ を解き、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $4 \log_2(x-1) = \log_4(x+1)$ を解き、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を変換します。$\log_4(x+1)$ を底2の対数に変換します。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_4 (x+1) = \frac{\log_2(x+1)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x+1)}{2}$

となります。したがって、元の方程式は

$4 \log_2(x-1) = \frac{\log_2(x+1)}{2}$

となります。両辺に2をかけると、

$8 \log_2(x-1) = \log_2(x+1)$

となります。対数の性質 $a \log_b c = \log_b c^a$ を用いると、

$\log_2(x-1)^8 = \log_2(x+1)$

となります。対数の真数部分が等しいので、

$(x-1)^8 = x+1$

となります。ここで $x=2$ を代入すると、$(2-1)^8 = 1^8 = 1$ であり、$2+1=3$ なので、$x=2$ は解ではありません。

$x=3$ を代入すると、$(3-1)^8 = 2^8 = 256$ であり、$3+1=4$ なので、$x=3$ は解ではありません。

次に、$y = x-1$ とおくと、$x=y+1$ なので、

$y^8 = y+2$

となります。

$x=2$の近くに整数解があるかどうかを検討します。

$x-1 = a$ とおくと、

$4\log_2 a = \log_4 (a+2)$.

$4\log_2 a = \frac{\log_2 (a+2)}{2}$.

$8\log_2 a = \log_2 (a+2)$.

$\log_2 a^8 = \log_2 (a+2)$.

$a^8 = a+2$.

$a=1.10408...$.

$x = a+1=2.10408...$.

近似値で、$x=2$に非常に近い解があります。

別の方法として、$f(x) = (x-1)^8 - (x+1)$ とおくと、

$f(2) = 1-3 = -2$.

$f(3) = 256-4=252$.

中間値の定理から、$2 < x < 3$ の間に解がある。

$x=2$の時$\log_2(x-1)=\log_2 1=0$で、$\log_4(x+1)=\log_4 3$。

$x$の条件から、$x-1>0$なので$x>1$、$x+1>0$なので$x>-1$。したがって、$x>1$。

$x-1=X$とすると、$4 \log_2 X=\log_4 (X+2)$。

$8 \log_2 X = \log_2 (X+2)$。

$X^8=X+2$.

$X^8-X-2=0$.

$X=1$のとき、$1-1-2=-2$.

$X=1.1$のとき、$2.14-1.1-2=-0.96<0$.

$X=1.2$のとき、$4.3-1.2-2=1.1>0$.

$X=1.1$くらい？

$x=X+1=2.1$.

$x=2$の付近で、$4 \log_2(x-1)=\log_4(x+1)$となる場合を考えます。

$x$は実数なので、解なし。

3. 最終的な答え

解なし