与えられた分数式の和を計算する問題です。 与えられた式は $\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算する問題です。

与えられた式は

$\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各分母を因数分解します。

$2x^2 - 5x + 3 = (2x-3)(x-1)$

$2x^2 + x - 6 = (2x-3)(x+2)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

したがって、与えられた式は

$\frac{x-2}{(2x-3)(x-1)} + \frac{3x-1}{(2x-3)(x+2)} + \frac{2x-5}{(x+2)(x-1)}$

となります。

次に、共通分母を$(2x-3)(x-1)(x+2)$として、各分数を足し合わせます。

$\frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{(3x-1)(x-1)}{(2x-3)(x+2)(x-1)} + \frac{(2x-5)(2x-3)}{(x+2)(x-1)(2x-3)}$

$=\frac{(x-2)(x+2) + (3x-1)(x-1) + (2x-5)(2x-3)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

分子を整理します。

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

$(3x-1)(x-1) = 3x^2 - 4x + 1$

$(2x-5)(2x-3) = 4x^2 - 16x + 15$

分子は、

$x^2 - 4 + 3x^2 - 4x + 1 + 4x^2 - 16x + 15 = 8x^2 - 20x + 12$

$= 4(2x^2 - 5x + 3) = 4(2x-3)(x-1)$

したがって、与えられた式は

$\frac{4(2x-3)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{4}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{x+2}$