2つの2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ と $3x^2 + bx - a = 0$ が、ともに $x = -2$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ と $3x^2 + bx - a = 0$ が、ともに $x = -2$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x = -2$ がそれぞれの解であることから、各方程式に $x = -2$ を代入して、 $a$ と $b$ に関する連立方程式を作ります。

まず、$x^2 + ax + b = 0$ に $x = -2$ を代入すると、

$(-2)^2 + a(-2) + b = 0$

$4 - 2a + b = 0$

$2a - b = 4$ ...(1)

次に、$3x^2 + bx - a = 0$ に $x = -2$ を代入すると、

$3(-2)^2 + b(-2) - a = 0$

$12 - 2b - a = 0$

$a + 2b = 12$ ...(2)

(1)と(2)を連立方程式として解きます。

(1)より、 $b = 2a - 4$ ...(3)

(3)を(2)に代入すると、

$a + 2(2a - 4) = 12$

$a + 4a - 8 = 12$

$5a = 20$

$a = 4$

$a = 4$ を(3)に代入すると、

$b = 2(4) - 4$

$b = 8 - 4$

$b = 4$

したがって、$a = 4$ , $b = 4$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = 4$