ハンドボールを投げる角度と飛距離の関係について考察する問題です。 (1)では、ボールを45度の角度で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ で表される場合について、放物線の頂点の座標、ボールの高さ、水平距離を求めます。また、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。 (2)では、ボールを30度の角度で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ で表される場合について、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

1. 問題の内容

ハンドボールを投げる角度と飛距離の関係について考察する問題です。

(1)では、ボールを45度の角度で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ で表される場合について、放物線の頂点の座標、ボールの高さ、水平距離を求めます。また、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

(2)では、ボールを30度の角度で発射したときの軌道が $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ で表される場合について、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ を平方完成します。

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x)$

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x + 100 - 100)$

$y = -\frac{1}{20}(x - 10)^2 + 5$

したがって、頂点の座標は(10, 5)なので、アイ = (10, 5)です。

ボールが最も高い位置にあるとき、地面からの高さはウ = 5です。

その時の水平距離は、x座標なので、10です。

次に、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。$y = 0$を代入すると、

$-\frac{1}{20}x^2 + x = 0$

$x(-\frac{1}{20}x + 1) = 0$

$x = 0, 20$

したがって、発射地点から地面に落下するまでの水平距離は20なので、エオ = 20です。

(2)

次に、ボールを水平方向から30度の方向に発射したとき、$y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ について、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

$y = 0$ を代入すると、

$-\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x = 0$

$x(-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$

$x = 0, \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$

したがって、発射したボールが地面に落下するまでの水平距離は $10\sqrt{3}$なので、カキ = 10、ク = $\sqrt{3}$です。

3. 最終的な答え

(1)

アイ: (10, 5)

ウ: 5

エオ: 20

(2)

カキ: 10

ク: $\sqrt{3}$