与えられた数列 $1, 2, 5, 10, 17, 26, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 5, 10, 17, 26, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

数列の階差数列を考えます。

$a_1 = 1$

$a_2 = 2$

$a_3 = 5$

$a_4 = 10$

$a_5 = 17$

$a_6 = 26$

階差数列 $b_n$ は次のようになります。

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 5 = 5$

$b_4 = a_5 - a_4 = 17 - 10 = 7$

$b_5 = a_6 - a_5 = 26 - 17 = 9$

階差数列 $b_n$ は $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ であり、これは初項1、公差2の等差数列です。

したがって、$b_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ です。

数列 $a_n$ の一般項は、階差数列を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、$a_n = 1 + (n-1)^2 = 1 + n^2 - 2n + 1 = n^2 - 2n + 2$ となります。

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$

$n=2$ のとき、$a_2 = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

$n=3$ のとき、$a_3 = 3^2 - 2(3) + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$

$n=4$ のとき、$a_4 = 4^2 - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10$

$n=5$ のとき、$a_5 = 5^2 - 2(5) + 2 = 25 - 10 + 2 = 17$

$n=6$ のとき、$a_6 = 6^2 - 2(6) + 2 = 36 - 12 + 2 = 26$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - 2n + 2$