問題は、式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)+2abc$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)+2abc$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解します。

ステップ1：式を展開する。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

ステップ2：式を整理する。

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

ステップ3：項を並び替えて因数分解を容易にする。

$= (a^2b + ab^2 + abc) + (a^2c + ac^2 + abc) + b^2c + bc^2$

$= ab(a+b+c) + ac(a+c) + bc(b+c)$

別のアプローチを試す。

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$