2つの2次不等式 $2x^2 - x - 6 < 0$ (1) と $x^2 - (a+2)x + 2a > 0$ (2) が与えられています。 (1) 不等式(1)の解を求めます。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ の値が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求め、$p = \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ を用いて表し、選択肢の中から $a$ と $p$ の関係を選びます。

1. 問題の内容

2つの2次不等式 $2x^2 - x - 6 < 0$ (1) と $x^2 - (a+2)x + 2a > 0$ (2) が与えられています。

(1) 不等式(1)の解を求めます。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ の値が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求め、$p = \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ を用いて表し、選択肢の中から $a$ と $p$ の関係を選びます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1) $2x^2 - x - 6 < 0$ を解きます。

$2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2) < 0$

よって、 $-\frac{3}{2} < x < 2$

(2) 不等式(2) $x^2 - (a+2)x + 2a > 0$ を解きます。

$x^2 - (a+2)x + 2a = (x-a)(x-2) > 0$

不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在しない条件を考えます。

不等式(1)の解は $-\frac{3}{2} < x < 2$ です。

(i) $a < 2$ のとき、不等式(2)の解は $x < a$ または $x > 2$ となります。

このとき、不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在しない条件は、$a \le -\frac{3}{2}$ です。

(ii) $a > 2$ のとき、不等式(2)の解は $x < 2$ または $x > a$ となります。

このとき、不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在しないということはあり得ません。なぜなら、$-\frac{3}{2} < x < 2$を満たす$x$は常に$x<2$を満たすからです。

(iii) $a = 2$ のとき、不等式(2)の解は $(x-2)^2 > 0$ なので、$x \ne 2$ です。

このとき、$-\frac{3}{2} < x < 2$を満たす$x$は常に不等式(2)を満たすので、不等式(1)と(2)を同時に満たす$x$は存在します。

したがって、不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在しない条件は、$a \le -\frac{3}{2}$ です。

$p = -\frac{3}{2}$ とすると、$a \le p$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < x < 2$

(2) $p = -\frac{3}{2}$, $a \le p$ (選択肢1)