実数 $x, y, z$ が次の3つの関係式を満たすとき、$xyz$, $xy+yz+zx$, $x^2+y^2+z^2$, $x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。 (1) $x+y+z=0$ (2) $x^3+y^3+z^3=1$ (3) $x^4+y^4+z^4=2$

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が次の3つの関係式を満たすとき、$xyz$, $xy+yz+zx$, $x^2+y^2+z^2$, $x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。

(1) $x+y+z=0$

(2) $x^3+y^3+z^3=1$

(3) $x^4+y^4+z^4=2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y+z=0$ を利用して $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$より、

$x^3+y^3+z^3-3xyz = 0$ となる。

(2) $x^3+y^3+z^3 = 1$ より、$1-3xyz=0$。

したがって、

$xyz = \frac{1}{3}$

(3) $x+y+z=0$ の両辺を2乗すると、

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=0$

したがって、

$x^2+y^2+z^2 = -2(xy+yz+zx)$

(4) $(x^2+y^2+z^2)^2 = x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ より、

$x^4+y^4+z^4 = (x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = (xy+yz+zx)^2 - 2xyz(x+y+z) = (xy+yz+zx)^2$

(5) $x^4+y^4+z^4=2$ より、

$2=(x^2+y^2+z^2)^2-2(xy+yz+zx)^2$

$2 = (-2(xy+yz+zx))^2 - 2(xy+yz+zx)^2$

$2 = 4(xy+yz+zx)^2 - 2(xy+yz+zx)^2$

$2 = 2(xy+yz+zx)^2$

$(xy+yz+zx)^2 = 1$

$xy+yz+zx = \pm 1$

(6) $x^2+y^2+z^2 = -2(xy+yz+zx)$ より、

$x^2+y^2+z^2 = -2(\pm 1) = \mp 2$

$x, y, z$ は実数なので、$x^2+y^2+z^2 \ge 0$ より、

$x^2+y^2+z^2 = 2$ であり、$xy+yz+zx = -1$

(7) $x+y+z=0$ より、$z = -(x+y)$.

$x^5+y^5+z^5 = x^5+y^5-(x+y)^5$

$x^5+y^5+z^5 = x^5+y^5-(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5)$

$x^5+y^5+z^5 = -5(x^4y+2x^3y^2+2x^2y^3+xy^4) = -5xy(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)$

$x^5+y^5+z^5 = -5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)$

$x^5+y^5+z^5 = 5xyz(x^2+xy+y^2)$

$x^5+y^5+z^5 = 5xyz((x+y)^2-xy)$

$x^5+y^5+z^5 = 5xyz(z^2-xy)$

$x^5+y^5+z^5 = 5xyz(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$ = $5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(2+1) = 5$

3. 最終的な答え

$xyz = \frac{1}{3}$

$xy+yz+zx = -1$

$x^2+y^2+z^2 = 2$

$x^5+y^5+z^5 = 5$