B1の(1)～(5)の問題を解く。 (1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。 (2) 実数 $x$ について、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための何条件か。 (3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形ABCにおいて、AC = 5, BC = 12 である。$\angle A = \theta$ とするとき、$tan\theta$ と $sin\theta$ を求める。 (4) 大人5人、子ども4人から3人を選ぶとき、選んだ3人がすべて大人となる選び方と、大人も子どもも含まれる選び方の総数を求める。 (5) 7つのデータ 7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 の中央値が16であるとき、$a$の値と四分位範囲を求める。

1. 問題の内容

B1の(1)～(5)の問題を解く。

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

(2) 実数 $x$ について、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための何条件か。

(3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形ABCにおいて、AC = 5, BC = 12 である。$\angle A = \theta$ とするとき、$tan\theta$ と $sin\theta$ を求める。

(4) 大人5人、子ども4人から3人を選ぶとき、選んだ3人がすべて大人となる選び方と、大人も子どもも含まれる選び方の総数を求める。

(5) 7つのデータ 7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 の中央値が16であるとき、$a$の値と四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解：$3x^2 - 2xy - y^2 = (3x+y)(x-y)$

(2) $|x| < 1$ より $-1 < x < 1$。$x > -2$。$-1 < x < 1$ ならば $x > -2$ は常に成り立つので、十分条件。しかし、$x > -2$ でも $-1 < x < 1$ が成り立つとは限らないので必要条件ではない。したがって、3.十分条件であるが、必要条件ではない。

(3) $tan\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$。三平方の定理より $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$。$sin\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$。

(4) 3人とも大人となる選び方は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。3人を選ぶ方法は全部で $_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$通り。大人だけの場合を除くと、大人も子どもも含まれる選び方は $84 - 10 = 74$通り。

(5) データを小さい順に並べると a-15, a+1が含まれる。中央値が16なので、並び替えたデータの中央値が16になる。

並び替えたデータは7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34。中央値は4番目の値なので、$a-15 < 16$ かつ $a+1 > 16$ でないと中央値が16にならない。

与えられた7つの数を小さい順に並べると：

a-15, a+1, 7, 9, 12, 22, 34

中央値が16であることから、並び順として以下のパターンが考えられる。

パターン1：a-15, 7, 9, 12, a+1, 22, 34 => a-15 < 16 < a+1

パターン2：7, 9, a-15, 12, a+1, 22, 34 => a-15<16<a+1

パターン3：7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34

a-15 < a+1なので、並び順に注意が必要。

中央値が16であるためには、a-15, a+1 がデータのどこにあるかで場合分けする。

7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34

この場合、中央値は a-15 になり、a-15 = 16 より、a = 31。

この時、a-15 = 16, a+1 = 32となり、データの並びは 7, 9, 12, 16, 22, 32, 34

この場合、中央値は 16になる。

四分位範囲は $Q_3 - Q_1$ で求める。

$Q_1$は、7, 9, 12 の中央値なので $Q_1 = 9$。

$Q_3$は、22, 32, 34 の中央値なので $Q_3 = 32$。

したがって、四分位範囲は $32 - 9 = 23$。

3. 最終的な答え

(1) $(3x+y)(x-y)$

(2) 3

(3) $tan\theta = \frac{12}{5}$, $sin\theta = \frac{12}{13}$

(4) 10, 74

(5) $a = 31$, 四分位範囲 = 23