連立方程式 $xy = 128$ $\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45}$ を満たす実数 $x, y$ を考えます。ただし、$x \le y$ とします。また、真数条件と底の条件から、$x$ と $y$ の範囲を求め、$\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ とおいて、連立方程式を解いていきます。具体的には、$X+Y$ と $XY$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$xy = 128$

$\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45}$

を満たす実数 $x, y$ を考えます。ただし、$x \le y$ とします。また、真数条件と底の条件から、$x$ と $y$ の範囲を求め、$\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ とおいて、連立方程式を解いていきます。具体的には、$X+Y$ と $XY$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、真数条件と底の条件から、$x > 0$, $x \ne 1$, $y > 0$, $y \ne 1$ が必要です。また、$x \le y$ であることに注意します。

$xy = 128 > 0$ より、$x > 0$ かつ $y > 0$ がわかります。

$x \ne 1$ より、$0 < x < 1$ または $1 < x$ が成り立ちます。$y$ についても同様に、$0 < y < 1$ または $1 < y$ が成り立ちます。

次に、$\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45}$ を変形します。

$\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{28}{45}$

$\frac{\log_2 2}{\log_2 x} + \frac{\log_2 2}{\log_2 y} = \frac{28}{45}$

$\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45}$

ここで、$\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ とおくと、

$\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} = \frac{28}{45}$

$\frac{X+Y}{XY} = \frac{28}{45}$

$45(X+Y) = 28XY$ ... (3)

また、$xy = 128$ より、$\log_2(xy) = \log_2 128$

$\log_2 x + \log_2 y = \log_2 2^7$

$\log_2 x + \log_2 y = 7$

$X + Y = 7$ ... (1)

(3)に(1)を代入すると、

$45(7) = 28XY$

$315 = 28XY$

$XY = \frac{315}{28} = \frac{45}{4}$

したがって、$X+Y = 7$, $XY = \frac{45}{4}$ です。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 1

ウ: 7

エオ: 45

カ: 4