(1) 関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ の逆関数を $g(x)$ とする。$f(2)=9$, $g(1) = -2$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y=\frac{3}{2}-\frac{3}{2^x+1}$ の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ の逆関数を $g(x)$ とする。$f(2)=9$, $g(1) = -2$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y=\frac{3}{2}-\frac{3}{2^x+1}$ の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(2) = 9$ より、

$\frac{2a+1}{4+b} = 9$

$2a+1 = 9(4+b)$

$2a+1 = 36+9b$

$2a - 9b = 35$ ...(1)

次に、$g(1) = -2$ より、$f(-2) = 1$

$\frac{-2a+1}{-4+b} = 1$

$-2a+1 = -4+b$

$-2a-b = -5$ ...(2)

(1) + (2) より、

$-10b = 30$

$b = -3$

(2)に代入して、

$-2a - (-3) = -5$

$-2a + 3 = -5$

$-2a = -8$

$a = 4$

(2)

$y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2^x+1}$ を $x$ について解く。

$y - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2^x+1}$

$\frac{2y-3}{2} = -\frac{3}{2^x+1}$

$2^x+1 = -\frac{6}{2y-3}$

$2^x = -\frac{6}{2y-3} - 1$

$2^x = \frac{-6 - (2y-3)}{2y-3}$

$2^x = \frac{-2y-3}{2y-3}$

$x = \log_2(\frac{-2y-3}{2y-3})$

よって、逆関数は $y = \log_2(\frac{-2x-3}{2x-3})$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = -3$

(2) $y = \log_2(\frac{-2x-3}{2x-3})$