与えられた方程式 $3|x+2| + |x-2| = 10$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $3|x+2| + |x-2| = 10$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、以下の3つの場合に分けて考える。

(i) $x < -2$ のとき

$x+2 < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、

$|x+2| = -(x+2)$ および $|x-2| = -(x-2)$ となる。

したがって、方程式は

$3(-(x+2)) - (x-2) = 10$

$-3x - 6 - x + 2 = 10$

$-4x - 4 = 10$

$-4x = 14$

$x = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

$x = -3.5 < -2$ を満たすので、これは解である。

(ii) $-2 \le x < 2$ のとき

$x+2 \ge 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、

$|x+2| = x+2$ および $|x-2| = -(x-2)$ となる。

したがって、方程式は

$3(x+2) - (x-2) = 10$

$3x + 6 - x + 2 = 10$

$2x + 8 = 10$

$2x = 2$

$x = 1$

$-2 \le x=1 < 2$ を満たすので、これは解である。

(iii) $x \ge 2$ のとき

$x+2 > 0$ かつ $x-2 \ge 0$ なので、

$|x+2| = x+2$ および $|x-2| = x-2$ となる。

したがって、方程式は

$3(x+2) + (x-2) = 10$

$3x + 6 + x - 2 = 10$

$4x + 4 = 10$

$4x = 6$

$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x = 1.5 \ge 2$ を満たさないので、これは解ではない。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{7}{2}, 1$