2次方程式 $x^2 - kx + k + 3 = 0$ が異なる2つの負の解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - kx + k + 3 = 0$ が異なる2つの負の解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

また、2つの解 $\alpha, \beta$ がともに負である条件は、

$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ である。

与えられた2次方程式 $x^2 - kx + k + 3 = 0$ に対して、

判別式 $D$ は

$D = (-k)^2 - 4(1)(k+3) = k^2 - 4k - 12$

異なる2つの実数解を持つ条件は

$D > 0$ より

$k^2 - 4k - 12 > 0$

$(k - 6)(k + 2) > 0$

$k < -2$ または $k > 6$

解と係数の関係より

$\alpha + \beta = k$

$\alpha \beta = k + 3$

2つの解がともに負である条件は

$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ より

$k < 0$ かつ $k + 3 > 0$

$k < 0$ かつ $k > -3$

$-3 < k < 0$

以上の条件をすべて満たす $k$ の範囲は、

$k < -2$ または $k > 6$

かつ

$-3 < k < 0$

より

$-3 < k < -2$

3. 最終的な答え

$-3 < k < -2$