ベクトル $\vec{a} = (4, 3)$ と $\vec{b} = (x, -2)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求める。 (2) $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直になるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, 3)$ と $\vec{b} = (x, -2)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求める。

(2) $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直になるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が平行になる条件

$\vec{a} + \vec{b} = (4+x, 3-2) = (4+x, 1)$

$\vec{a} - \vec{b} = (4-x, 3-(-2)) = (4-x, 5)$

2つのベクトルが平行であるとき、一方のベクトルがもう一方のベクトルの定数倍で表せる。つまり、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

$(4+x, 1) = k(4-x, 5)$

これから、以下の2つの式が得られる。

$4+x = k(4-x)$

$1 = 5k$

したがって、$k = \frac{1}{5}$ となる。

$4+x = \frac{1}{5}(4-x)$

$5(4+x) = 4-x$

$20 + 5x = 4 - x$

$6x = -16$

$x = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$

(2) $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直になる条件

2つのベクトルが垂直であるとき、それらの内積が0になる。

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

$(4+x)(4-x) + (1)(5) = 0$

$16 - x^2 + 5 = 0$

$21 - x^2 = 0$

$x^2 = 21$

$x = \pm \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{8}{3}$

(2) $x = \pm \sqrt{21}$