問題は、 $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{\Box})^2$ の $\Box$ に入る数字を求める問題と、 $(\sqrt{10} - \sqrt{3})(\sqrt{10} + \sqrt{3})$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題は、 $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{\Box})^2$ の $\Box$ に入る数字を求める問題と、 $(\sqrt{10} - \sqrt{3})(\sqrt{10} + \sqrt{3})$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

最初の問題について、$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$ を展開します。

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2$

$= 3 + 2\sqrt{15} + 5$

$= 8 + 2\sqrt{15}$

$= 8 + \sqrt{4 \cdot 15}$

$= 8 + \sqrt{60}$

$= \sqrt{(8 + \sqrt{60})^2}$

$= \sqrt{64 + 16\sqrt{60} + 60}$

しかし、問題の形式からして、$8 + 2\sqrt{15} = \sqrt{\Box}$ の形にしたいわけではないので、別の方法を試みます。

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} + \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$

したがって、$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{8+2\sqrt{15}})^2$ となりそうです。 しかし、これも違う気がするので、問題がおかしいのではないかと思われます。

もし問題の形が $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = a+b\sqrt{c}$ の形で $a$, $b$, $c$ を求めよということであれば、$a=8$, $b=2$, $c=15$ となります。

次の問題について、$(\sqrt{10} - \sqrt{3})(\sqrt{10} + \sqrt{3})$ を計算します。

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{10} - \sqrt{3})(\sqrt{10} + \sqrt{3}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 10 - 3$

$= 7$

3. 最終的な答え

最初の問題は、問題文の意図が不明瞭なため、$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = 8 + 2\sqrt{15}$ までしか計算できません。

もし$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{\Box})^2$ という形式で答えるのであれば、$\Box = 8 + 2\sqrt{15}$となります。

$(\sqrt{10} - \sqrt{3})(\sqrt{10} + \sqrt{3}) = 7$