等差数列の問題です。 (1) $S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ の情報から、初項 $a$ と公差 $d$ を求め、それらを用いて $S_n$ を表す式を導出します。さらに、$S_k = 900$ となる $k$ の値を求めます。 (2) $n \geq 2$ とするとき、等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を表した式として、与えられた3つの式が正しいか誤っているかを判定します。

1. 問題の内容

等差数列の問題です。

(1) $S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ の情報から、初項 $a$ と公差 $d$ を求め、それらを用いて $S_n$ を表す式を導出します。さらに、$S_k = 900$ となる $k$ の値を求めます。

(2) $n \geq 2$ とするとき、等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を表した式として、与えられた3つの式が正しいか誤っているかを判定します。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ を利用します。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 100$ より、 $2a + 9d = 20$ ... (1)

$S_{20} = \frac{20}{2}(2a + 19d) = 400$ より、 $2a + 19d = 40$ ... (2)

(2) - (1) より、 $10d = 20$ なので、$d = 2$

$d = 2$ を (1) に代入すると、$2a + 9(2) = 20$ より、$2a = 2$ なので、$a = 1$

したがって、初項は1, 公差は2

よって、$S_n = \frac{n}{2}\{2(1) + (n-1)(2)\} = \frac{n}{2}(2 + 2n - 2) = n^2$

$S_k = k^2 = 900$ より、$k = \sqrt{900} = 30$

(2)

ア. $S_n = \frac{n}{2}(a_2 + a_{n-1})$

等差数列なので、$a_2 = a + d$, $a_{n-1} = a + (n-2)d$.

$S_n = \frac{n}{2}(a+d+a+(n-2)d) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

これは等差数列の和の公式と同じなので、正しい。

イ. $S_n = \frac{n-1}{2}(a_2 + a_{n-1})$

$n-1$ である時点で項数が合わないので誤り。

ウ. $S_n = \frac{n-1}{2}(a_1 + a_n) + a_n$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$が正しいのでこれは誤り。

3. 最終的な答え

(1)

初項 コ: 1

公差 サ: 2

$S_n$ = A: $n^2$

$k$ = シ: 30

(2)

ア: 〇

イ: ×

ウ: ×