## 問題の要約

## 問題の要約

問題6は、$n \geq 2$である等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を表す式として、正しいものと誤っているものを判別する問題です。

問題7は、与えられた等比数列の一般項を求める問題です。

## 解き方の手順

### 問題6

等差数列の和の公式を確認します。

等差数列 $\{a_n\}$ の初項を $a_1$、公差を $d$ とすると、第 $n$ 項 $a_n$ は $a_n = a_1 + (n-1)d$ と表されます。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$$

と表されます。

ア. $S_n = \frac{n}{2}(a_2 + a_{n-1})$

$a_2 = a_1 + d$、 $a_{n-1} = a_1 + (n-2)d$ であるから、

$a_2 + a_{n-1} = 2a_1 + (n-1)d - d = 2a_1 + (n-3)d$ となります。

よって、$\frac{n}{2}(a_2 + a_{n-1}) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-3)d\} \neq \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\} = S_n$

したがって、この式は誤りです。

イ. $S_n = \frac{n-1}{2}(a_2 + a_{n-1})$

これは、$n$ の代わりに $n-1$ を使っているため、誤りです。

ウ. $S_n = \frac{n-1}{2}(a_1 + a_{n-1}) + a_n$

$S_{n-1} = \frac{n-1}{2}(a_1 + a_{n-1})$ なので、 $S_n = S_{n-1} + a_n$

これは正しいです。

### 問題7

等比数列の一般項の公式を確認します。

等比数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公比を $r$ とすると、一般項 $a_n$ は、

$$a_n = a r^{n-1}$$

で与えられます。

(1) 初項 $7$, 公比 $2$ の等比数列の場合、

$$a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$$

(2) $-3, 9, -27, 81, \dots$ の等比数列の場合、

初項は $a = -3$、公比は $r = -3$ です。

$$a_n = (-3) \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^n$$

## 最終的な答え

### 問題6

ア: $\times$

イ: $\times$

ウ: $\bigcirc$

### 問題7

(1) $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$

(2) $a_n = (-3)^n$