自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が含まれるように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。 (3) 150が第何群の何番目の数かを求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が含まれるように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。

(3) 150が第何群の何番目の数かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n-1$ 群までの項数は、

$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$

よって、第 $n$ 群の最初の数は、$(2^{n-1} - 1) + 1 = 2^{n-1}$

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。

第 $n$ 群の最後の数は、第 $n$ 群までの項数を計算すると、

$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

したがって、第 $n$ 群の最後の数は $2^n - 1$である。

第1群から第 $n$ 群までの数の和は、初項1、末項 $2^n - 1$、項数 $2^n - 1$の数列の和である。

$S_n = \frac{(1 + 2^n - 1)(2^n - 1)}{2} = \frac{2^n(2^n - 1)}{2} = 2^{n-1}(2^n - 1)$

(3) 150が第何群の何番目の数かを求める。

$2^{n-1} \leq 150 < 2^n$となる $n$ を見つける。

$2^7 = 128$、 $2^8 = 256$なので、$2^{8-1} = 2^7 = 128 \leq 150 < 2^8 = 256$

したがって、150は第8群にある。

第8群の最初の数は、$2^{8-1} = 2^7 = 128$である。

150は第8群の何番目の数か？

$150 - 128 + 1 = 23$

したがって、150は第8群の23番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和は $2^{n-1}(2^n - 1)$

(3) 150は第8群の23番目の数